父親和外婆爭小孩的撫養權，撫養權歸父親，外婆不能爭奪撫養權，只能爭取監護權，孩子的撫養權是父母的。孩子的撫養權是父母的，是父母對其子女的一項人身權利，撫養有婚生的撫養與非婚生的撫養之分，在現實生活中由於各種原因的出現與發生，導致父母對子女的撫養權得不到很好的保障。擁有該權利的一方或雙方，在子女成年之前，有權決定是否與子女共同生活，該權利在子女成年時即消滅。
《中華人民共和國民法典》第一千零八十四條 【離婚後的父母子女關係】父母與子女間的關係，不因父母離婚而消除。離婚後，子女無論由父或者母直接撫養，仍是父母雙方的子女。
離婚後，父母對於子女仍有撫養、教育、保護的權利和義務。
離婚後，不滿兩週歲的子女，以由母親直接撫養爲原則。已滿兩週歲的子女，父母雙方對撫養問題協議不成的，由人民法院根據雙方的具體情況，按照最有利於未成年子女的原則判決。子女已滿八週歲的，應當尊重其真實意願。
