一、進階法院如何依授權覈准死刑案件？
進階法院覈准死刑案件，僅能按照《刑法》的相關規定對死刑緩期執行的案件進行復核。《刑法》規定，死刑除依法由最高人民法院判決的以外，都應當報請最高人民法院覈准。死刑緩期執行的，可以由進階人民法院判決或者覈准。
依授權可以由進階人民法院覈准的死刑案件，中級人民法院判處死刑後，被告人不上訴、人民檢察院不抗訴的，在上訴、抗訴期滿後三日內報請進階人民法院覈准。
進階人民法院同意判處死刑的，應當裁定覈准死刑;不同意判處死刑的，應當依法改判;認爲原判事實不清，證據不足的，應當發回中級人民法院重新審判。
法律依據：
《中華人民共和國刑法》第四十八條
死刑只適用於罪行極其嚴重的犯罪分子。對於應當判處死刑的犯罪分子，如果不是必須立即執行的，可以判處死刑同時宣告緩期二年執行。
死刑除依法由最高人民法院判決的以外，都應當報請最高人民法院覈准。死刑緩期執行的，可以由進階人民法院判決或者覈准。
二、死刑覈准的程序是什麼？
(一)中級人民法院判處死刑的第一審案件，被告人不上訴、人民檢察院不抗訴的，在上訴、抗訴期滿後三日內報請進階人民法院複覈。進階人民法院同意判處死刑的，應當依法作出裁定後，報請最高人民法院覈准;不同意判處死刑的，應當提審或者發回重新審判;
(二)中級人民法院判處死刑的第一審案件，被告人提出上訴或者人民檢察院提出抗訴，進階人民法院終審裁定維持死刑判決的，報請最高人民法院覈准;
(三)進階人民法院判處死刑的第一審案件，被告人不上訴、人民檢察院不抗訴的，在上訴、抗訴期滿後三日內報請最高人民法院覈准;
(四)依法應當由最高人民法院覈准的死刑案件，判處死刑緩期二年執行的罪犯，在死刑緩期執行期間，如果故意犯罪，查證屬實，應當執行死刑的，由進階人民法院報請最高人民法院覈准。
死刑是五種主要刑事處罰的一種，死刑的適用是非常嚴格的，只有犯罪行爲人犯罪行爲十分惡劣、造成的社會影響十分巨大的時候，纔會被判處死刑，並且人民法院作出死刑判決之後，還要層報最高人民法院或者是進階人民法院覈准死刑。
