根據我國《婚姻法》（自2021年1月1日起廢止）的相關規定，子女對無勞動能力的或生活困難的父母有贍養，給付贍養費的義務。而針對贍養義務人不履行贍養義務，遺棄家庭成員的行爲，需要承擔相應的法律後果。無勞動能力或生活困難的父母對於子女不贍養的行爲，有權要求負有贍養義務的子女給付撫養費，如果子女拒不履行贍養義務，不給付贍養費的，有遺棄家庭成員行爲的，受害人有權向居民委員會、村民委員會以及所在單位請問勸阻和調解，同時可以向法院起訴，請求贍養義務人給付贍養費。法院判決後贍養義務人拒不履行判決、裁定的，法院有權依法強制執行。同時，如果贍養義務人拒不履行法院的判決、裁定，以及遺棄家庭成員的，除了要承擔相應的民事責任意外，都有可能涉嫌刑事犯罪，被司法機關追究刑事責任。
法律依據：
《中華人民共和國婚姻法》（自2021年1月1日起廢止）第二十一條　
【父母與子女】父母對子女有撫養教育的義務；子女對父母有贍養扶助的義務。
子女不履行贍養義務時，無勞動能力的或生活困難的父母，有要求子女付給贍養費的權利。
《中華人民共和國婚姻法》（自2021年1月1日起廢止）第四十四條　
【遺棄】對遺棄家庭成員，受害人有權提出請求，居民委員會、村民委員會以及所在單位應當予以勸阻、調解。對遺棄家庭成員，受害人提出請求的，人民法院應當依法作出支付扶養費、撫養費、贍養費的判決。
《民法典》第一千零六十七條 父母不履行撫養義務的，未成年子女或者不能獨立生活的成年子女，有要求父母給付撫養費的權利。
成年子女不履行贍養義務的，缺乏勞動能力或者生活困難的父母，有要求成年子女給付贍養費的權利。